Pregunta # 0df97

Resposta:

La resposta a 4 és # e ^ -2 #.

Explicació:

El problema és:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Ara és un problema difícil. La solució resideix en un acurat reconeixement de patrons. Podeu recordar la definició de # e #:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #

Si poguéssim reescriure el límit com una cosa propera a la definició de # e #, tindríem la nostra resposta. Per tant, provem-ho.

Tingues en compte que #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # equival a:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Podem dividir les fraccions així:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Arribem allà! Anem a factoritzar un #-2# des de la part superior i inferior:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (cancel·leu (-2)) / (cancel·leu (-2) (- x-2))) (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Aplicem la substitució # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Les propietats dels exponents diuen: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Tan #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # equival a:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Les propietats dels exponents també diuen que: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Això vol dir que això es redueix a:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Per definició, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e; i utilitzant la substitució directa sobre el segon límit, s'obté

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Així que la solució és …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #