Com es poden trobar els valors mínims absoluts i màxims absoluts de f a l'interval donat: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) a [-1, 5]?

Resposta:

Reqd. els valors extrems són # -25 / 2 i 25/2 #.

Explicació:

Fem servir la substitució # t = 5sinx, t en -1,5 #.

Observeu que aquesta substitució és permesa, perquè, # t en -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, que val, com a rang de # sin diversió. és #-1,1#.

Ara, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sxxcosx) = 25 / 2sin2x

Des de, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Per tant, reqd. són extremitats # -25 / 2 i 25/2 #.

Resposta:

Trobeu la monotonia de la funció des del signe del derivat i decidiu quin màxim / mínim local és el més gran, el més petit.

El màxim absolut és:

#f (3.536) = 12,5 #

El mínim absolut és:

#f (-1) = - 4.899 #

Explicació:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

La derivada de la funció:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• El numerador té dues solucions:

  # t_1 = sqrt (12,5) = 3,536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Per tant, el numerador és:

  Negatiu per a #t a (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positiu per a #t a (-3.536.3.536) #

• El denominador sempre és positiu # RR #, ja que és una arrel quadrada.

  Finalment, l’interval donat és #-1,5#

Per tant, la derivada de la funció és:

- Negatiu per a #t a -1,3.536) #

- Positiu per a #t a (3.536,5) #

Això vol dir que el gràfic primer puja #f (-1) # a #f (3.536) # i després cau a #f (5) #. Això ho fa #f (3.536) # el màxim absolut i el valor més gran de #f (-1) # i #f (5) # és el mínim absolut.

El màxim absolut és #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12,5 #

Pel màxim absolut:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0

Per tant, #f (-1) = - 4.899 # és el mínim absolut.

Podeu veure a la gràfica següent que això és cert. Simplement ignoreu l’àrea de #-1# ja que està fora del domini:

gràfic {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}