Resoldre això utilitzant la integral de Riemann?

Resposta:

frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # o bé #: aprox. 1.302054638 … #

Explicació:

La identitat número u més important per resoldre qualsevol problema amb el producte infinit és convertir-la en un problema de sumes infinites:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {l (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

EMFÀSIS:

# = exp suma_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Però, abans de poder fer-ho, primer hem de tractar amb el # frac {1} {n ^ 2} a l’equació i btw anomenarem el producte infinit L:

# L = lim_ {n a + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n a + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n a + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} = lim_ {n a + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

Ara podem convertir-lo en una suma infinita:

# L = lim_ {n a + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n} } = lim_ {n a + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}}) #

aplicar les propietats del logaritme:

# L = lim_ {n a + infty} exp suma_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

I utilitzant les propietats límit:

# L = exp lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Anomenem la suma infinita S:

# S = lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

I recordeu això

# L = exp (S) #

Ara resoldrem la vostra pregunta convertint-la en un RIEMANN SUM a a INTEGRAL DEFINIT:

Recordem que la definició d'una suma de Riemann és:

EMFÀSIS:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Deixar

# lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Ara, anem # f (x) = ln (1 + x ^ 2) i a = 0

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Així, b = 1 és a dir.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Per tant,

# S = lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Resoldre per # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

utilitzar la integració per parts:

# uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Deixar # u = ln (1 + x ^ 2) i v = 1

A continuació, utilitzeu la regla de la cadena i la derivada del logaritme natural # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

i utilitzeu la regla de potència per obtenir: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Utilitza la regla de la resta:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Utilitzeu la regla de potència per a la primera integral i la segona integral és la funció trigonomètrica estàndard # arctan (x) # (la inversa de la funció tangent)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Així, # ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ara resol la integral definitiva:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

sabem que l'anti-derivat és # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Així

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

Tingueu en compte que arctan (1) és de 45 ° o frac {pi} {4} # (recordeu el triangle dret especial amb longituds laterals 1,1, # sqrt {2} # i angles de 45 °, 45 °, 90 °) i també # arctan (0) = 0 #

Per tant #S = ln (2) - 2 + 2 (frac {pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac {pi} {2} #

o bé 0,263943507354 aprox.

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac {pi} {2} e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ {frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Per tant, la solució és # lim_ {n a + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # o bé #: aprox. 1.302054638 … #