Resposta:
# -xeu ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2
Explicació:
Comenceu utilitzant la regla de suma per a les integrals i dividint-les en dues integrals separades:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
La primera d'aquestes mini-integrals es resol mitjançant la integració per parts:
Deixar # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Ara utilitzeu la fórmula d’integració per parts # intudv = uv-intvdu #, tenim:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
El segon d’aquests és el cas de la regla de la potència inversa, que indica:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Tan # int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Per tant, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (recordeu afegir la constant d’integració!)
Se'ns dóna la condició inicial #f (0) = 1 #, tan:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Fent aquesta substitució final, obtenim la nostra solució final:
# intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
