Resposta:
Començar amb
# -1 = x i ^ 2 + x ^ 2 i - e ^ y - sec (xy) #
Substituïm el secant amb un cosinus.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 i - e ^ y -1 / / cos (xy) #
Ara prenem la derivada wrt x a AMB ELS VERSOS!
# d / dx -1 = d / dx (x i ^ 2 + x ^ 2 i - e ^ i -1 /) (cos (xy)) #
La derivada d'una constant és zero i la derivada és lineal!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ i) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Ara utilitzeu la regla del producte només en els dos primers termes que tenim.
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (i ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx i} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Següent gran quantitat de diversió amb la regla de la cadena! Mireu l'últim terme.
(també fent els derivats x simples)
# 0 = {1 * i ^ 2 + x * (d / dy i ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy i * dy / dx} - {d / dy i ^ i} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Fent alguns d’aquests derivats y, derivats xy i derivats cos (xy) fent també la regla del producte i la cadena una vegada més en l’última part del darrer terme.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx i + x dy / dy dy / dx) #
Neaten una mica i acaben tots els derivats
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Ara separeu-vos per terme amb # dx / dy # i sense
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Voleu fer-ho sense # dy / dx # a un costat i recollir termes similars de l'altra
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Dividiu-vos encara per trobar-los # dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Va ser molt llarg!
Explicació:
Vaig anar amb una explicació MOLT llarga amb un exemple senzill, ja que la diferenciació implícita pot ser complicada i la regla de la cadena és molt molt important.
Heu d’utilitzar al voltant de tres regles BIG Calculus per resoldre aquesta i tres derivades de funcions específiques.
1) La linealitat de la derivada.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) La regla del producte.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) De lluny, el concepte més important en la diferenciació implícita és
la regla de la cadena. Per a funcions compostes, funcions d'altres funcions, #f (u (x)) # tenim, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Podeu continuar amb això
# d / dx (f (u (i (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, i endavant i endavant. Nota # dx / dx = 1 #.
Exemple: si teniu una funció d'una funció #f (u) # on # u # és una funció de # x #. és a dir #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Aquí #f (u) = sqrt (u) # i #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # recordar # u = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Expressions per a tipus de funcions específiques.
A) Com prendre les funcions derivades del poder, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Com prendre la derivada de # e ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- avorrit eh?
C) Com prendre la derivada de # (cos) perquè s (x) = 1 / {cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
La clau per a la diferenciació implícita és utilitzar la regla de la cadena per prendre la derivada wrt x de i la funció de x i y, com un cercle.
# 9 = x ^ 2 + i ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (i ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy i ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
