Com es troba el límit de [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] quan x s'apropa a 0?

Resposta:

Realitzeu una multiplicació conjugada i simplifiqueu-ne l'obtenció #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0

Explicació:

La substitució directa produeix una forma indeterminada #0/0#, així que haurem de provar alguna cosa més.

Intenteu multiplicar # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # per # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Es coneix com aquesta tècnica multiplicació conjugada, i funciona gairebé cada vegada. La idea és utilitzar la propietat de diferència de quadrats # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # per simplificar el numerador o el denominador (en aquest cas el denominador).

Recordeu-ho # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, o # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Per tant, podem substituir el denominador, que és # 1-cos ^ 2x #, amb # sin ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Ara el # sin ^ 2x # cancel·la:

# ((sinx) (cancel·leu (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) (cancel·leu (sin ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

Finalitza prenent el límit d'aquesta expressió:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#