Pregunta # 6bd6c

Resposta:

0

Explicació:

#f (x) = x ^ 3-x # és una funció estranya. Verifica #f (x) = -f (-x) #

tan # int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) dx = 0 #

Resposta:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 0 #

Podria ser l'àrea, però la funció no manté una senyal constant entre #x a -1,1 # #. També, a causa de la simetria en # x = 0 # que talla la meitat d’aquest interval, les àrees es cancel·len i nulifiquen la zona.

Explicació:

Geomètricament, la integral d’una funció d’una sola variable és igual a una àrea. Tanmateix, la geometria suggereix que la funció més petita es restringeix de la funció més gran per tal que l'àrea no sigui negativa. Més específicament, per a dues funcions #f (x) # i #g (x) # l’àrea entre els dos gràfics # a, b # és:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

És a dir, cal saber quin dels casos següents és realment vàlid:

#f (x)> g (x) #

#f (x) <g (x) #

Ara considerant la vostra funció, trobeu el signe de la diferència entre aquestes funcions:

# x ^ 3-x = 0 #

#x (x ^ 2-1) = 0 #

#x (x-1) (x + 1) = 0

Ho veiem per a l’àrea de #-1,1# que l’exercici us dóna, el signe realment canvia de positiu a negatiu # x = 0 #. Per tant, geomètricament aquesta integral definida NO representa l'àrea. L'àrea real és:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx #

Atès que l’àrea de 0 a 1 seria negativa, només afegim un signe menys, de manera que s’afegeix. Si solucioneu les integrals:

# A = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 0- x ^ 4/4-x ^ 2/2 _0 ^ 1 #

# A = 1/4 - (- 1/4) #

#Α=2/4#

Tingueu en compte que les dues integrals donen el mateix valor? Això és degut a la simetria de la funció, que fa que la vostra integral sigui negativa.

Per concloure:

La vostra integral és igual a:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 1 = 1 / 4-1 / 4 = 0 #

L'àrea de la funció, si se sol·licitava, seria:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 1/4 + 1/4 = 2/4 #

Per tant, pot recordar de l’àrea, però la integral que s’ofereix NO representa l'àrea (es pot saber des del principi, ja que una àrea no pot ser 0). L’únic resultat geomètric que es podria obtenir seria la simetria de la funció. Per a eix de simetria # x = 0 # els valors simètrics de # x # #-1# i #+1# produeixen àrees iguals, de manera que és probable que la funció sigui simètrica. Gràfic de les dues funcions del mateix full, es pot veure que és realment simètric: