Què és int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Resposta:

#= 1/4#

Explicació:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Resposta:

#1/4#

Explicació:

Pot fer-ho de diverses maneres, hi ha dos. El primer és utilitzar una substitució:

#color (vermell) ("Mètode 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Deixar #u = ln (x) implica du = (dx) / x #

Transformant els límits:

#u = ln (x) implica u: 0 rarr 1 #

Integral es converteix en:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Aquesta és la manera més senzilla, però és possible que no sempre pugueu fer una substitució. Una alternativa és la integració per parts.

#color (vermell) ("Mètode 2") #

Utilitzeu la integració per parts:

Per a funcions #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) implica u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) implica v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Agrupació de termes com:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#therefore int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Estem treballant amb una integral definida, aplicant així límits i eliminant la constant:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) l (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #