Resposta:
La integral definitiva és # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
Explicació:
Sempre hi ha diverses maneres d’abordar els problemes d’integració, però així s’ha solucionat aquesta:
Sabem que l’equació del nostre cercle és:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
Això significa que per a qualsevol # x # valor que podem determinar els dos # y # valors per sobre i per sota d'aquest punt de l’eix x utilitzant:
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
Si imaginem que una línia dibuixada des de la part superior del cercle fins a la part inferior amb constant # x # valor en qualsevol punt, tindrà una longitud del doble de # y # valor donat per l’equació anterior.
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
Ja que ens interessa la zona entre la línia #x = 3 # i el final del cercle a #x = 5 #, aquests seran els nostres límits integrals. A partir d'aquest moment, escriure la integral definitiva és simple:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
Resposta:
Com a alternativa, en polar
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
Explicació:
ho pots fer també en polar
el cercle en polar és r = 5 i usant la formulació més simple de l'àrea #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) d psi # es converteix, utilitzant la simetria al voltant de l’eix x
#A = 2 vegades (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 d psi - color {vermell} {1/2 * 3 * 4}) #
on el bit vermell és tal com es mostra ombrejat en vermell al dibuix
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 arcsin (4/5) - 12 #
