S = (a (r ^ n -1)) / (r-1) Fent "r" la fórmula del subjecte ...?

Resposta:

Generalment no és possible …

Explicació:

Donat:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

Idealment volem derivar una fórmula com:

#r = "alguna expressió a" s, n, a #

Això no serà possible per a tots els valors de # n #. Per exemple, quan # n = 1 # tenim:

#s = (a (color ^ r (blau) (1) -1)) / (r-1) = un #

Llavors # r # pot prendre qualsevol valor a part #1#.

Tingueu també en compte que si # a = 0 # llavors # s = 0 # I un altre cop # r # pot prendre qualsevol valor a part #1#.

Vegem fins a quin punt podem arribar en general:

Primer multipliqueu els dos costats de l’equació donada # (r-1) # aconseguir:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

Multiplicant els dos costats, això passa a ser:

# sr-s = ar ^ n-a #

A continuació, restant el costat esquerre de tots dos costats, obtenim:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

Suposant #a! = 0 #, ho podem dividir per # a # per obtenir l’equació del polinomi monic:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0

Tingueu en compte que per a qualsevol valor de #a, s # i # n # una arrel d’aquest polinomi és # r = 1 #, però això és un valor exclòs.

Intentarem provar # (r-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (blanc) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#color (blanc) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a) #

Per tant, dividint per # (r-1) # obtenim:

# r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

Les solucions d’aquest procés tindran formes molt diferents per a diferents valors de # n #. De moment #n> = 6 #, en general, no es pot resoldre pels radicals.