Demostrar que si p, q, r, s són nombre real i pr = 2 (q + s) llavors almenys una de les equacions x ^ 2 + px + q = 0 i x ^ 2 + rx + s = 0 té arrels reals?

Resposta:

Si us plau mireu més a baix.

El discriminant de # x ^ 2 + px + q = 0 # és # Delta_1 = p ^ 2-4q #

i el de # x ^ 2 + rx + s = 0 # és # Delta_2 = r ^ 2-4s #

i # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # p ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

i si # pr = 2 (q + s) #, tenim # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Com la suma dels dos discriminants és positiva, almenys un d'ells seria positiu

i per tant, almenys una de les equacions # x ^ 2 + px + q = 0 # i # x ^ 2 + rx + s = 0 # té arrels reals.