Com es troba el límit de (arctan (x)) / (5x) quan x s'apropa a 0?

Resposta:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Explicació:

Per trobar aquest límit, observeu que tant el numerador com el denominador van a #0# com # x # enfocaments #0#. Això vol dir que tindríem una forma indeterminada, de manera que podem aplicar la regla de L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Mitjançant l’aplicació de la regla de l'Hospital, ens dediquem a la derivada del numerador i del denominador

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

També podem comprovar-ho gràficament de la funció, per fer-nos una idea de què # x # enfocaments.

Gràfic de #arctan x / (5x) #:

gràfic {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Resposta:

A continuació, s’explica un enfocament més llarg que utilitza trigonometries

Explicació:

En cas que no estigueu còmodes amb la regla de L'Hopital, o encara no l'heu exposat, un altre mètode per resoldre el problema consisteix a utilitzar la definició de la funció arctangent.

Recordeu que si # tantheta = x #, llavors # theta = arctanx #; això significa essencialment que arctangent és el contrari de la tangent. Usant aquesta informació, podem construir un triangle on # tantheta = x # i # theta = arctanx #:

Des del diagrama, és clar que # tantheta = x / 1 = x #. Des de # tantheta = sintheta / costheta #, ho podem expressar com:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Usant això més el fet que # theta = arctanx #, podem fer reemplaçaments al límit:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Això equival a:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) # costheta

Ho sabem #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; tan #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # o bé #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1. I des de llavors # cos0 = 1 #, el límit es valora per:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) # costheta

#->1/5*(1)*(1)=1/5#

Com es troba el límit de (sin (x)) / (5x) quan x s'apropa a 0?

El límit és 1/5. Donat lim_ (xto0) sinx / (5x) Sabem que el color (blau) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 Així podem reescriure el nostre donat com: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5

Com es troba el límit de (sin ^ 2 (x ^ 2)) / (x ^ 4) quan x s'apropa a 0?

1 Sigui f (x) = (sin ^ 2 (x ^ 2)) / x ^ 4 implica f '(x) = lim_ (x a 0) (sin ^ 2 (x ^ 2)) / x ^ 4 implica f '(x) = lim_ (x a 0) (sin (x ^ 2) * sin (x ^ 2)) / x ^ 4 = lim_ (x a 0) {sin (x ^ 2) / x ^ 2 * pecat (x ^ 2) / x ^ 2} = lim_ (x a 0) sin (x ^ 2) / x ^ 2lim_ (x a 0) sin (x ^ 2) / x ^ 2 * = 1 * 1 = 1

Com es troba el límit del pecat ((x-1) / (2 + x ^ 2)) quan x s'apropa oo?

Factifiqueu la potència màxima de x i cancel·leu els factors comuns del nominador i del numerador. La resposta és: lim_ (x-> oo) sin ((x-1) / (2 + x ^ 2)) = 0 lim_ (x-> oo) sin ((x-1) / (2 + x ^ 2) ) lim_ (x-> oo) sin ((1 * x-1 * x / x) / (2 * x ^ 2 / x ^ 2 + 1 * x ^ 2)) lim_ (x-> oo) pecat (( x * (1-1 / x)) / (x ^ 2 * (2 / x ^ 2 + 1))) lim_ (x-> oo) sin ((cancel·leu (x) (1-1 / x)) / (x ^ cancel (2) (2 / x ^ 2 + 1))) lim_ (x-> oo) sin ((1-1 / x) / (x (2 / x ^ 2 + 1))) Ara finalment pot prendre el límit, observant que 1 / oo = 0: sin ((1-0) / (oo * (0 + 1))) sin (1 / oo) sin0