Resposta:
Vegeu l'explicació …
Explicació:
Si # p = q = r # llavors:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Així, tots els zeros que tinguin seran comuns.
Tingueu en compte que aquestes condicions no són necessàries.
Per exemple, si # p = 0 #, #q! = 0 # i #r! = 0 # llavors:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # té arrel # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # té arrels # x = -r / q # i # x = 0 #
Així doncs, les dues equacions tenen una arrel en comú, però #p! = q # i no ho necessitem # p + q + r = 0 #.
Resposta:
Si us plau mireu més a baix.
Explicació:
Com # px ^ 2 + qx + r = 0 # i # qx ^ 2 + rx + p = 0 # tenir arrel comú, que sigui aquesta arrel # alfa #. Llavors
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # i # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
i per tant # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
i # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # i # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
és a dir. # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
o bé # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
o bé # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
o bé # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # i dividint per # p #
o bé # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
és a dir. # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0
Per tant tampoc # p + q + r = 0 # o bé # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Observeu això # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alpha ^ 2 + alfa + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
i si # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, tenim # alpha ^ 2 + alpha + 1 = 0 # és a dir. # p = q = r #
