Què fa (3 + i) ^ (1/3) igual en forma de + bi?

Resposta:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + arrel (6) (10) pecat (1/3 arctan (1/3))

Explicació:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alfa)) # on #alpha = arctan (1/3) #

Tan

#root (3) (3 + i) = arrel (3) (sqrt (10)) (cos (alfa / 3) + i sin (alfa / 3)) #

# = arrel (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = arrel (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + arrel (6) (10) pecat (1/3 arctan (1/3))

Des de # 3 + i # és a Q1, aquesta arrel del cub principal de # 3 + i # també està en Q1.

Les altres dues arrels del cub de # 3 + i # són expressibles utilitzant l’arrel del cub complex complex primitiu de la unitat #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = arrel (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + arrel (6) (10) pecat (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3)

# omega ^ 2 (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = arrel (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + arrel (6) (10) pecat (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3)