Què és int (cos (x)) ^ 4 dx?

Resposta:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Explicació:

Tot i que inicialment sembla ser una integral molt molesta, en realitat podem explotar les identitats trigues per trencar aquesta integral en una sèrie d’integrals simples amb les quals estem més familiaritzats.

La identitat que utilitzarem és:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Això ens permet manipular la nostra equació com a tal:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Ara podem tornar a aplicar la nostra regla per eliminar el cos ^ 2 (2x) dins del parèntesi:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Ara tenim un problema d’integració bastant senzill, podem distribuir la integral a la nostra parèntesi de manera que

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Cadascuna d’aquestes integrals trigonometriques es gestiona amb la regla simple que #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

Així, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) # #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) # #