Mostrar que l’equació x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 té exactament una solució a [0, 1]?

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

En primer lloc, calculem #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # al límit del nostre domini:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Si calculem la derivada

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Podem veure que sempre és positiu #0,1#. De fet, # x ^ 2 + 1 # sempre és positiu, i # 4x és evidentment positiu des de llavors # x # és positiu.

Per tant, la nostra funció comença per sota del # x # eix, des de #f (0) <0 #, i acaba per sobre del # x # eix, des de #f (1)> 0 #. La funció és un polinomi, de manera que és continu.

Si una línia contínua comença per sota de l'eix i acaba per sobre, significa que ha d'haver-la creuat en algun lloc intermedi. I el fet que la derivada sigui sempre positiva significa que la funció sempre creix, de manera que no pot creuar l'eix dues vegades, d'aquí la prova.