Per què són importants les permutacions?

Resposta:

Vegeu a continuació algunes reflexions:

Explicació:

Primer parlem del que és una permutació. Per fer-ho, primer parlaré sobre els factorials.

Quan demanem un munt de coses i l’ordre és important (com el nombre de maneres d’ordenar els llibres en un conjunt d’enciclopèdia de 10 volums), podem veure que hi ha #10!# maneres d’organitzar els llibres: el primer llibre al prestatge pot ser qualsevol dels 10 llibres, el segon al prestatge pot ser de qualsevol dels 9 restants, el tercer del prestatge pot ser qualsevol dels 8 restants, etc.:

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1 = 10! = 3.628.800 #

I això funciona molt bé si volem arreglar tot el que tingueu a la vostra disposició. Però, i si volem organitzar les coses, però no totes les coses? Diguem que tenim 10 figures d’acció, però només tenim espai a la plataforma per a sis d’ells. Quantes maneres diferents es poden mostrar?

Podríem calcular-la dient que hi ha 10 figures que podríem posar en la posició una a la plataforma, a continuació, 9 a la posició dos, 8 a la posició tres, i així successivament, donant:

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4 = "molt de colpejar la tecla d’hora a la calculadora".

Podem reduir aquest treball veient que la nostra cadena de multiplicació és la mateixa que:

# ((10xx9xx8xx7xx6xx5) (4xx3xx2xx1)) / (4xx3xx2xx1) = (10!) / (4!) #

que podem reescriure:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)#

i ara tenim tot el que sabíem (escollint 6 coses d’una població de 10 coses) i això és el que és una permutació:

#P_ (n, k) = (n!) / ((N-k)!); n = "població", k = "selecciona"

Un factorial és un nombre fixat: ho sabem #10! = 3,628,800# i #4! = 24#, i així podem trobar aquesta resposta final dient:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)=3628800/24=151,200#

Per tant, hem descobert que les permutacions són fantàstiques per estalviar molta feina en calcular el nombre de maneres en què es poden ordenar les coses quan l’ordre dels arranjaments és important. Quant treball? Considerem aquesta pregunta:

"Un vol d’avió està sobrecarregat. Hi ha 300 persones que tenen bitllets per arribar a un avió amb 250 seients. Quantes maneres diferents podem organitzar a l’avió?"

La resposta és #P_ (300,250) = (300!) / (50!) #

(la resposta numèrica aproximada és # 9.5xx10 ^ 121 #)