Quina és la integral de int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Resposta:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Explicació:

El nostre gran problema en aquesta integral és l’arrel, així que volem desfer-nos-en. Ho podem fer introduint una substitució # u = sqrt (2x-1) #. La derivada és llavors

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

De manera que es divideix (i recordem, dividir per un recíproc és el mateix que multiplicar per només el denominador) per integrar respecte a # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel·la (sqrt (2x-1)) = int x ^ 2-1

Ara tot el que hem de fer és expressar el # x ^ 2 # en termes de # u # (ja que no es pot integrar # x # amb respecte a # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Podem connectar això a la nostra integral per obtenir:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1

Es pot avaluar utilitzant la regla de potència inversa:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Substitució per a # u = sqrt (2x-1) #, obtenim:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #