Quina és la fórmula general del discriminant d'un polinomi de grau n?

Resposta:

Vegeu l'explicació …

Explicació:

El discriminant d'un polinomi #f (x) # de grau # n # es pot descriure en termes del determinant de la matriu de Sylvester de #f (x) # i #f '(x) # com segueix:

Donat:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Tenim:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

La matriu de Sylvester de #f (x) # i #f '(x) # és un # (2n-1) xx (2n-1) # matriu formada utilitzant els seus coeficients, similar al següent exemple per a # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Llavors el discriminant # Delta # es dóna en termes del determinant de la matriu Sylvester per la fórmula:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Per # n = 2 # tenim:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(que es pot trobar més recognoscible en el formulari #Delta = b ^ 2-4ac #)

Per # n = 3 # tenim:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (blanc) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Els discriminants per als quadràtics (# n = 2 #) i cúbics (# n = 3 #) són els més útils pel fet de dir exactament quants zeros complexos reals, repetits o no reals tenen un polinomi.

La interpretació del discriminant per a polinomis d’ordre superior és més limitada, però sempre té la propietat que el polinomi tingui zeros repetits si i només si el discriminant és zero.

#color (blanc) () #

Per llegir més

Vegeu