Què significa sqrt (3 + i) igual en forma de + bi?

Resposta:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2))

Suposem # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Així, doncs, es comparen les parts reals i imaginàries:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Per tant #b = 1 / (2a) #, que podem substituir amb la primera equació per obtenir:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Multiplica els dos extrems per # 4a ^ 2 # aconseguir:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Tan:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

De la fórmula quadràtica obtenim:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Des de #sqrt (10)> 3 #, Escull el #+# signe per obtenir valors reals per a # a #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

on # b # té el mateix signe que # a # des de llavors #b = 1 / (2a) #

L’arrel quadrada principal es troba en Q1 amb #a, b> 0 #

Això és:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2))

De fet, si #c, d> 0 # llavors podem mostrar de manera similar:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) jo #