Què és l’antiderivat de /1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Resposta:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Explicació:

Així que aquí tenim la integral:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

I la forma de recíproca quadràtica sembla suggerir que la substitució trigonomètrica funcionarà aquí. Per tant, completeu el quadrat per obtenir:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

A continuació, apliqueu la substitució #u = x-1 # per eliminar el lineal:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Per tant, podem canviar de forma segura variables sense efectes secundaris no desitjats:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Ara, aquesta és la forma ideal per executar una substitució trigonomètrica; # u ^ 2 + 1 # suggereix la identitat pitagòrica # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, així que apliquem la substitució #u = tantheta # simplificar el denominador:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d #

Així que la integral es converteix en:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d #

Ara, fem servir la fórmula d’angle doble per a # cos # per fer que aquesta antiderivativa sigui més manejable:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

A continuació, poseu-ho a la integral:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (i tornar a obrir-ho amb la fórmula d’angle doble per a # sin)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Ara, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = seg ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Finalment, arribant al punt:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #