L'àrea delimitada per la corba y = 3 + 2x-x ^ 2 i la línia y = 3 es gira completament sobre la línia y = 3. Trobeu el volum del sòlid de la revolució obtingut?

Resposta:

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

L’àrea és la solució d’aquest sistema:

# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (i> = 3):}

I es dibuixa en aquesta trama:

La fórmula del volum d'un sòlid de rotació de l'eix x és:

# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.

Per aplicar la fórmula hem de traduir la mitja lluna a l'eix x, la zona no canviarà, i per tant no canviarà també el volum:

# y = -x ^ 2 + 2x + 3color (vermell) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #

# y = 3color (vermell) (- 3) = 0 #

D'aquesta manera obtenim #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.

L’àrea traduïda ara es mostra aquí:

Però quins són els a i b de la integral? Les solucions del sistema:

# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):}

Tan # a = 0 i b = 2 #.

Reescriure i resoldre la integral:

# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz

# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #

# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #

# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

I aquesta "llimona" és el sòlid obtingut: