Resposta:
Ja heu respost aquí.
Explicació:
Primer haureu de trobar # sin18 ^ @ #, per a la qual hi ha detalls disponibles.
A continuació, podeu aconseguir-ho # cos36 ^ @ # com es mostra aquí.
Resposta:
Resolem #cos (2 theta) = cos (3 theta) # o bé # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # per # x = cos 144 ^ circ # i aconseguir-ho #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Explicació:
Obtenim #cos 36 ^ circ # lleugerament indirectament de la fórmula d’angle doble i triple del cosinus. Està molt bé com es fa, i té un final sorprenent.
Ens centrarem #cos 72 ^ circ #. L'angle # theta = 72 ^ circ # satisfà
#cos (2 theta) = cos (3 theta).
Resolim això # theta #, recordant #cos x = cos a # té solucions #x = pm a + 360 ^ circ k.
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ. K o bé # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
Això inclou el # 360 ^ circ per tant, podem deixar anar la part "o".
No escric un misteri aquí (malgrat el final sorprenent), així que ho mencionaré #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # és també una solució vàlida i veiem com es relaciona amb la pregunta.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Ara ho deixem # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Sabem # x = cos (0 vegades 72 ^ circ) = 1 és una solució així # (x-1) # és un factor:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0
El quadràtic té arrels
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
El positiu ha de ser #cos 72 ^ circ # i el negatiu #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Aquesta és la resposta. La sorpresa és que sigui la meitat de la proporció daurada!
