Quin és el pendent de la línia tangent de 3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y = C, on C és una constant arbitrària, a (2,5)?

Resposta:

# dy / dx = -20 / 21 #

Explicació:

Haureu de conèixer els fonaments de la diferenciació implícita per a aquest problema.

Sabem que la inclinació de la línia tangent en un punt és la derivada; per tant, el primer pas serà prendre la derivada. Ho fem per peça, començant per:

# d / dx (3y ^ 2) #

Aquest no és massa dur; només cal aplicar la regla de la cadena i la regla de poder:

# d / dx (3y ^ 2) #

# -> 2 * 3 * y * dy / dx #

# = 6ydy / dx #

Ara, a # 4xy #. Necessitarem les regles d’alimentació, cadena i producte d’aquesta:

# d / dx (4xy) #

# -> 4d / dx (xy) #

# = 4 ((x) '(i) + (x) (i)') -> # Regla del producte: # d / dx (uv) = u'v + uv '#

# = 4 (y + xdy / dx) #

# = 4y + 4xdy / dx #

Bé, finalment # x ^ 2y # (més normes de producte, potència i cadena):

# d / dx (x ^ 2y) #

# = (x ^ 2) '(i) + (x ^ 2) (i)' #

# = 2xy + x ^ 2dy / dx #

Ara que hem trobat tots els nostres derivats, podem expressar el problema com:

# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #

# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #

(Recordeu que la derivada d’una constant és #0#).

Ara recopilem termes # dy / dx # d’una banda i moure tota la resta a l’altre:

# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #

# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #

# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #

# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #

Tot el que queda per fer és connectar #(2,5)# per trobar la nostra resposta:

# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #

# dy / dx = - (4 (5) +2 (2) (5)) / (6 (5) +4 (2) + (2) ^ 2) #

# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #

# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #