Per què és útil completar el quadrat? + Exemple

Resposta:

Simplificar expressions quadràtiques de manera que es puguin resoldre amb arrels quadrades.

Explicació:

Completar el quadrat és un exemple de transformació de Tschirnhaus: l'ús d'una substitució (encara que implícitament) per tal de reduir una equació polinòmica de forma més simple.

Així donat:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # amb #a! = 0 #

podríem escriure:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (blanc) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (blanc) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (blanc) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (blanc) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (blanc) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Per tant:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Tan:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Per tant, havent començat amb una equació quadràtica en la forma:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

ho vam aconseguir en un formulari # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # amb #t = (2ax + b) # i # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #, eliminant el terme lineal deixant només termes quadrats.

Mentre estiguem contents calculant les arrels quadrades, ara podem resoldre qualsevol equació quadràtica.

Completar el quadrat també és útil per obtenir l'equació d'un cercle, una el·lipse o una altra secció cònica en forma estàndard.

Per exemple, donat:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

completant la plaça trobem:

# (x-2) ^ 2 + (i + 3) ^ 2 = 5 ^ 2

que ens permet identificar aquesta equació com la d'un cercle amb centre #(2, -3)# i radi #5#.