Resposta:
Solució: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0)
Explicació:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 o bé
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # o bé
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # o bé
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # o bé
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0: # Qualsevol
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 o (5 cos (x / 2) -3) = 0
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # o bé
# cos (x / 2)! = 5/4 # des del rang de #cos x # és #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # o bé
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #
També #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~~ 106.26 ^ 0 #
i # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #
Solució: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) Ans
Resposta:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # enter # k #
Explicació:
Comencem per substituir # y = x / 2 # per desfer-se dels angles fraccionats.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
La forma afavorida de la fórmula de doble angle del cosinus és
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 i -1 #
Substitució, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
Això és un factor important, però hi ha una petita recerca
# (5 cos i - 3) (4 cos y + 5) = 0
#cos y = 3/5 o cos i = -5 / 4 #
Podem ignorar el cosinus fora de rang.
#cos y = 3/5 #
Podem utilitzar la fórmula de doble angle:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 i - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
Això és una triple pitagòrica #7^2+24^2=25^2# així que podem provar d’escriure això # arctan (24/7) però això és més arrel.
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # enter # k #
Comproveu:
Comprovarem una parella amb una calculadora.
# x = text {Arc} text {cos} (- 7/25) aproximadament 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 vegades 10 ^ {- 8} quad sqrt #
Afegim 360 i torneu a comprovar:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 quad # NO FUNCIONA.
A causa de l’angle mig, la resposta correcta sembla ser
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # enter # k #
