Les arrels {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 de x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 són tals que cada x_i = 1. Com es demostra que, si b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5? En cas contrari, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$Les arrels {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 de x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 són tals que cada x_i = 1. Com es demostra que, si b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5? En cas contrari, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

Resposta:

En canvi, la resposta és # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # i les equacions corresponents # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 i x ^ 6 + -1 = 0. #.

Explicació:

La bona resposta de Cesereo R em va permetre modificar-la

la meva versió anterior, perquè la meva resposta estigués bé.

El formulari # x = r e ^ (i theta) # podria representar real i complex

arrels. En el cas de les arrels reals x, r = | x |., Acordat! Continuem.

En aquesta forma, amb r = 1, l’equació es divideix en dues equacions, #cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

# sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 #… (2)

Per estar a gust, escolliu (3) primer i feu servir #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Dóna

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, amb solucions

#sin 3theta = 0 a theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

# cos 3theta = -a / 2 a theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, amb k com abans. … (4)

Aquí, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 a a a -2, 2 # … (5)

(3) redueix (1) a

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

Utilitzant #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) redueix (1) a

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 a b = 1 #… (7)

Ara, de (6), # a = + -2 #

Així, els valors (a, b) són (+ -2, 1)..

Les equacions corresponents són # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 i (x ^ 6 + 1) = 0

No obstant això, això no està totalment en compte amb el conjunt de valors de Cesareo per a (a,). Crec que he de revisar de nou la meva resposta. Considerant (4) i (6) junts, en establir a = 0, b = - 1. Això és fàcil de verificar # (a, b) = (0, -1) #és una solució i l’equació corresponent és # x ^ 6-1 = 0 #, amb dues arrels reals #+-1#. Aquí, # 6 theta = (4k-1) pi i cos 6theta = -1 #, i per tant, (6) es converteix en b = 1, quan a = 0 també. Ets 100% correcte, Cesareo. Gràcies.

La resposta totalment completa és com s'ha introduït al quadre de resposta.

Nota: Aquesta és una altra proposició, però, recordo i fer una declaració sobre com havia establert les desigualtats en la pregunta actual, tan aviat com sigui possible.

Desgraciadament, les meves esgarrapades en aquest assumpte havien anat a la paperera. Si aquesta resposta és correcta, però no és això, jo # lament per al mateix. He de canviar la pregunta per a aquesta resposta. Penso ràpid, però no teclejo, sincronitzat amb el pensament. Els errors es poden incrustar fàcilment en els meus pensaments.

Espero que els neuròlegs aproven la meva explicació, per l’entrada de bugs en el nostre treball dur …

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Suposem això # {a, b} a RR # ho tenim #b = pm1 #

perquè #b = Pix_i #. Ara fent #y = x ^ 3 # tenim

# y ^ 2 + aypm1 = 0 # i la solució per a # y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # però

# absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1))) = 1 #

Resolució de # a # tenim # a = {0, -2,2} #

L'equació # x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 # és equivalent a una de les possibilitats

# x ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

amb

# a_0 = {- 2,0,2} #

# b_0 = {- 1,1} #