Pregunta # ecc3a

Resposta:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Explicació:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6in (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Resposta:

3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Explicació:

Sempre que tinguem un quadràtic en el denominador i no # x #'s al numerador, volem que la integral en el següent formulari:

1/1 (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

En el nostre cas, podem fer-ho completant el quadrat i després utilitzant una substitució.

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Volem introduir una substitució en u tal que:

# (x + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Podem resoldre'ls # x # per esbrinar què ha de ser aquesta substitució:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u-1/2 #

Integrar respecte a # u #, multiplicem per la derivada de # x # amb respecte a # u #:

# dx / (du) = sqrt3 / 2 #

1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Ara ho podem resoldre # u # en termes de # x # tornar a substituir:

# u = (2x + 1) / sqrt3 #

Això significa que la nostra resposta final és:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #