Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Calculeu el valor de l’espera en qualsevol moment posterior t = t_1, phi_n són funcions propies d'energia del pou de potencial infinit. Escriviu la resposta en termes de E_0?

Bé, ho tinc # 14 / 5E_1 #… i donat el sistema escollit, no es pot expressar de nou en termes de # E_0 #.

Hi ha tantes regles de mecànica quàntica trencades en aquesta pregunta …

El # phi_0 #, ja que utilitzem infinites solucions de pous potencials, s'esvaeix automàticament … #n = 0 #, tan #sin (0) = 0 #.

I per al context, ho havíem deixat #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

És impossible per escriure la resposta en termes de # E_0 # perquè #n = 0 # NO existeix per al pou potencial infinit. A menys que vulgueu que la partícula sigui desapareix , He d’escriure'l en termes de # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…
L’energia és una constant del moviment, és a dir, # (d << E >>) / (dt) = 0…

Així que ara…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

El valor de l’expectativa és una constant del moviment, de manera que no ens importa quina hora # t_1 # escollim. En cas contrari, aquest no és un sistema conservador …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # per a alguns #n = 1, 2, 3,… #

De fet, ja sabem el que hauria de ser, ja que l’hamiltonià per al pou potencial infinit unidimensional és temps-INDEPENDENT …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

i la # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # anar a 1 a la integral:

#color (blau) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

on l'hem deixat #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. De nou, tots els factors de fase es cancel·len i observem que els termes fora de la diagonal van a zero a causa de l'ortogonalitat de la # phi_n #.

El denominador és la norma de # Psi #, el qual és

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Per tant, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Això dóna:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) cancel·lar (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2 m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) cancel·lar (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) cancel·lar (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2 píxels) / L) cancel·leu (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Aplica les derivades:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Les constants suren:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

I aquesta integral és coneguda per les raons físiques per estar a mig camí #0# i # L #, independentment de # n #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = color (blau) (14/5 E_1) #

Resposta:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Explicació:

Cada estat estacionari corresponent al valor propi de l’energia # E_n # recull un factor de fase #e ^ {- iE_n t} # sobre l'evolució del temps. L’estat donat és no un estat estacionari - ja que és la superposició dels estats propis d'energia que pertanyen a diferents valors propis. Com a resultat, evolucionarà en el temps de manera no trivial. No obstant això, l’equació de Schroedinger que regeix l’evolució temporal dels estats és lineal, de manera que cada funció pròpia d’energia del component evoluciona de manera independent i recull el seu propi factor de fase.

Així, la funció d’ona inicial

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

evoluciona en el temps # t # a

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) i ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) i ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Per tant, l’expectativa energètica valora en el temps # t # es dóna per

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) i ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) vegades (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

on hem utilitzat el fet que el #phi_i (x) # són funcions propies d’energia, de manera que #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Això encara ens dóna nou termes. No obstant això, el càlcul final s’ha simplificat molt pel fet que les funcions pròpies de l’energia estiguin orto-normalitzades, és a dir. obeeixen

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Això significa que de les nou integrals, només tres sobreviuen, i ho fem

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Utilitzant el resultat estàndard que #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, tenim # E_1 = 4E_0 # i # E_2 = 9E_0 # per a un pou infinit de potencials (potser estareu més acostumats a una expressió que diu #E_n propto n ^ 2 # per a un pou infinit, però en aquests casos es marca l’estat fonamental # E_1 # - aquí el etiquetem # E_0 # - d’aquí el canvi). Per tant

# <E> = (1/6 vegades 1 + 1/3 vegades 4 + 1/2 vegades 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Nota:

Tot i que les funcions propies d’energia individuals evolucionen en el temps recollint un factor de fase, la funció d’ona general no ho fa difereixen de l’inici només per un factor de fase: per això ja no és un estat estacionari.
Les integrals implicades eren semblants

# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} vegades int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

i semblen que depenen del temps. Tanmateix, els únics integrals que sobreviuen són els únics # i = j # - i aquests són precisament els que anul·len la dependència del temps.
Els últims resultats encaixen amb el fet que #hat {H} # es conserva - tot i que l’estat no és un estat estacionari - el valor de l’esperança energètica és independent del temps.
La funció d’ona original ja està normalitzada des de # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # i aquesta normalització es conserva en l'evolució del temps.
Podríem haver reduït molta feina si haguéssim fet ús d’un resultat mecànic quàntic estàndard: si una funció d’ona s’expandeix en la forma #psi = sum_n c_n phi_n # ón el # phi_n # són funcions propies d’un operador hermític #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, llavors # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, sempre que, per descomptat, els estats estiguin correctament normalitzats.