Per quins valors de x és f (x) = x-x ^ 2e ^ -x còncava o convexa?

Resposta:

Cerqueu la segona derivada i comproveu el signe. És convexa si és positiva i còncava si és negativa.

Còncau per:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2))

Convex per a:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Explicació:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Primera derivada:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Prengui # e ^ -x # com a factor comú per simplificar la següent derivada:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Segona derivada:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Ara hem d'estudiar el signe. Podem canviar el signe per resoldre fàcilment el quadràtic:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Per fer del quadràtic un producte:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Per tant:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2)) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Un valor de # x # entre aquestes dues solucions es dóna un signe quadràtic negatiu, mentre que qualsevol altre valor de # x # la fa positiva.
• Qualsevol valor de # x # fa # e ^ -x # positiu.
• El signe negatiu al començament de la funció inverteix tots els signes.

Per tant, #f '' (x) # és:

Positiu, per tant còncau per:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2))

Negatiu, per tant convex per a:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #