Per quins valors de x és f (x) = (- 2x) / (x-1) còncava o convexa?

Resposta:

Estudieu el signe de la 2a derivada.

Per #x <1 # la funció és còncava.

Per #x> 1 # la funció és convexa.

Explicació:

Cal estudiar la curvatura trobant la 2a derivada.

#f (x) = - 2x / (x-1) #

La primera derivada:

#f '(x) = - 2 ((x)' (x-1) -x (x-1) ') / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

La segona derivada:

#f '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#f '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Ara el signe de #f '' (x) # s’ha d'estudiar. El denominador és positiu quan:

# - (x-1) ^ 3> 0

# (x-1) ^ 3 <0 #

# (x-1) ^ 3 <0 ^ 3 #

# x-1 <0 #

#x <1 #

Per #x <1 # la funció és còncava.

Per #x> 1 # la funció és convexa.

Nota: el punt # x = 1 # es va excloure perquè la funció #f (x) # no es pot definir per a # x = 1 #, ja que el denumirator esdevindria 0.

Aquí hi ha un gràfic per veure amb els vostres ulls:

gràfic {(- 2x) / (x-1) -14,08, 17,95, -7,36, 8,66}