Quin és el mètode més ràpid i més senzill per resoldre equacions cúbiques i quàrtiques (sense una calculadora polinòmica)?

Resposta:

Depèn…

Explicació:

Si el cubic o quàrtic (o qualsevol polinomi de grau per a aquesta matèria) té arrels racionals, llavors el teorema de les arrels racionals pot ser la manera més ràpida de trobar-les.

La regla de signes de Descartes també pot ajudar a identificar si una equació polinòmica té arrels positives o negatives, de manera que ajuden a reduir la cerca.

Per a una equació cúbica, pot ser útil avaluar el discriminant:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Si #Delta = 0 # llavors el cúbic té una arrel repetida.

• Si #Delta <0 # llavors el cúbic té una arrel real i dues arrels complexes no reals.

• Si #Delta> 0 # llavors el cúbic té tres arrels reals.

Si #Delta = 0 # llavors el cúbic comparteix un factor amb la seva derivada, de manera que haureu de ser capaç de trobar el seu factor comú calculant el polinomi GCF.

En cas contrari, és probable que usi una transformació de Tschirnhaus per derivar a depressiu cúbic sense terme quadrat abans de continuar.

Si un cúbic té una arrel real i dos no reals, llavors recomanaria el mètode de Cardano.

Si té tres arrels reals, recomanaria utilitzar una substitució trigonomètrica.

Per als quartics, podeu obtenir un quàrtic deprimit sense un terme de cub per una substitució com #t = x + b / (4a) #.

Si el quàrtic resultant tampoc té un terme lineal, és un quadràtic en # x ^ 2 #. Podeu resoldre-ho com a quadràtic i prendre arrels quadrades o utilitzar una factorització de la forma:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

A partir d’aquí es poden trobar factors quadràtics per resoldre.

Si el quartic resultant té un terme lineal, es pot tenir en compte en el formulari:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Coeficients iguals i ús # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, podeu derivar un cúbic in # a ^ 2 #. Per tant, podeu trobar valors possibles per a # a #, # b # i # c #. A continuació, trobeu els zeros dels factors quadràtics.

Hi ha altres casos especials, però que la cobreix aproximadament.