Z és un nombre complex. Mostrar que l’equació z ^ 4 + z + 2 = 0 no pot tenir una arrel z tal que z <1?

# z ^ 4 + z + 2 = 0 #

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 #

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) #

Si #absz <1 #, llavors # absz ^ 3 <1 #, I #abs (z ^ 3 + 1) <= abs (z ^ 3) + abs1 <1 + 1 = 2 #

Finalment Si #absz <1 #, llavors

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) <1 * 2 <2 # així que no podem tenir

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 # segons sigui necessari per a una solució.

(Hi pot haver proves més elegants, però això funciona.)