Pregunta # dbd28

Resposta:

Definiu la distància entre el gràfic i el punt com a funció i trobeu el mínim.

El punt és #(3.5,1.871)#

Explicació:

Per saber què tan a prop es troben, cal conèixer la distància. La distància euclidiana és:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) #

on Δx i Δy són les diferències entre els 2 punts. Per ser el punt més proper, aquest punt ha de tenir la distància mínima. Per tant, establim:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2))

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Ara hem de trobar el mínim d’aquesta funció:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

El denominador sempre és positiu com a funció arrel quadrada. El numerador és positiu quan:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3,5 #

Per tant, la funció és positiva quan #x> 3,5 #. De la mateixa manera, es pot demostrar que és negatiu quan #x <3.5 # Per tant, funcionen allà #f (x) # té un mínim de # x = 3,5 #, el que significa que la distància és la mínima # x = 3,5 # La coordenada y de # y = x ^ (1/2) # és:

# y = 3.5 ^ (1/2) = sqrt (3.5) = 1.871 #

Finalment, el punt on s'observa la mínima distància des de (4,0) és:

#(3.5,1.871)#