Dipositeu $ 200 en un compte d’estalvi. Per a cada any posterior, teniu previst dipositar un 15% més que l’any anterior. Quant a la quantitat de diners que haureu dipositat durant 20 anys?

Resposta:

# $ color (blanc) (l) 20488.72 #

Explicació:

Valora els dipòsits en qüestió la persona cada any

• # $ color (blanc) (l) 200 # en el primer # 1 "st" # curs,
• # (1 + 15%) xx $ color (blanc) (l) 200 # en el segon # 2 "nd" # curs,
• # (1 + 15%) ^ 2 xx $ color (blanc) (l) 200 # en el tercer # 3 "rd" # curs,
• #cdot cdot cdot #
• # (1 + 15%) ^ 19 xx $ color (blanc) (l) 200 # al vintè # 20 "th" # curs,

formen una seqüència geomètrica.

Una fórmula general dóna la suma de la primera #n "th" # termes d’una seqüència geomètrica de relació comuna # r # i primer terme # a_1 #

#sum_ (i = 1) ^ (n) r ^ (i-1) xx a_1 = a_1 xx (1-r ^ n) / (1-r) #

La seqüència geomètrica d’aquesta pregunta té

#r = 1 + 15% = 1,15 #

com la seva relació comuna i

# a_1 = $ color (blanc) (l) 200 #

com a primer termini, que equival al dipòsit en el primer any.

La pregunta és demanar la suma dels primers termes del segle XX d'aquesta seqüència, la qual cosa implica # n = 20 #; substitució # n #, # r #, i # a_1 # amb els seus respectius valors i l’avaluació de l’assignació

#sum_ (i = 1) ^ (20) 1.15 ^ (i-1) xx $ color (blanc) (l) 200 = $ color (blanc) (l) 200 xx (1-1.15 ^ 20) / (1- 1,15) = $ color (blanc) (l) 20488.72 #

(arrodonit als dos decimals)

Per tant, la persona hauria dipositat # $ color (blanc) (l) 20488.72 # en total durant els vint anys.