Com es troba el límit de (ln x) ^ (1 / x) quan x s'aproxima a l'infinit?

Resposta:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1

Explicació:

Comencem amb un truc bastant comú a l'hora de tractar exponents variables. Podem prendre el registre natural d'alguna cosa i després elevar-lo com a exponent de la funció exponencial sense canviar el seu valor, ja que són operacions inverses, però ens permet utilitzar les regles dels registres d'una manera beneficiosa.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) # #

Utilitzant la regla d’exponent dels registres:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Tingueu en compte que és l’exponent que varia igual # xrarroo # de manera que podem centrar-nos en això i moure la funció exponencial fora:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Si mireu el comportament de la funció de registre natural, notareu que a mesura que x tendeix a l'infinit, el valor de la funció també tendeix a l'infinit, encara que sigui molt lent. Quan prenem #ln (ln (x)) # tenim una variable dins de la funció de registre que tendeix a l'infinit molt lentament, de manera que tenim una funció global que tendeix a l'infinit EXTREMÀ lentament. El gràfic següent només oscil·la fins a # x = 1000 # però demostra el creixement extremadament lent de #ln (ln (x)) # fins i tot en comparació amb el lent creixement de #ln (x) #.

A partir d’aquest comportament, podem inferir-ho # x # mostrarà un creixement asimptòtic molt més ràpid i, per tant, el límit de l’exponent serà zero. #color (blau) ("Això significa que el límit global = 1") #

També podem abordar aquest punt amb la regla de L'hopital. Necessitem que el límit sigui de forma indeterminada, és a dir # 0/0 o oo / oo # així que comprovem que aquest sigui el cas:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Aquest és, de fet, el cas, per tant, el límit esdevé:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Per diferenciar #y = ln (ln (x)) # reconèixer que tenim #y (u (x)) # i utilitzeu la regla de la cadena

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) implica (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) implica (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivat de # x # és #1#. El límit es converteix en:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) # #

Hem abordat que les dues funcions del denominador tendeixen a l'infinit, així que tenim

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #

Com es troba el límit de xtan (1 / (x-1)) quan x s'aproxima a l'infinit?

El límit és 1. Espero que algú aquí pugui omplir els espais en blanc de la meva resposta. L’única manera que puc veure per solucionar-ho és expandir la tangent utilitzant una sèrie de Laurent a x = oo. Malauradament, encara no he realitzat una anàlisi molt complexa, de manera que no us puc fer un seguiment exacte del que es fa, però utilitzant Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/? x-1)) He obtingut que el tan (1 / (x-1)) expandit a x = oo és igual a: 1 / x + 1 / x ^ 2 + 4 / (3x ^ 3) + 2 / (x ^ 4) + 47 / (15x ^ 5) + O (((1) / (x)) ^ 6) Multiplicant per la x d

Com es valora [(1 + 3x) ^ (1 / x)] quan x s'aproxima a l'infinit?

Lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = 1 Anem a utilitzar un truc trencat que fa servir el fet que les funcions de registre exponencial i natural són operacions inverses. Això vol dir que podem aplicar-los sense canviar la funció. lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) e ^ (ln (1 + 3x) ^ (1 / x)) Usant la regla de l'exponent dels registres podem reduir la potència donant: lim_ (xrarroo) e ^ (1 / xln (1 + 3x)) La funció exponencial és contínua, de manera que podeu escriure-la com e ^ (lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x)) i ara només heu de tractar amb el limiteu i recordeu qu

Com es troba el límit de cosx quan x s'aproxima a l'infinit?

NO EXIST: el cosx sempre és entre +1 i és divergent