Quin és el vector unitat que és ortogonal al pla que conté (- 5 i + 4 j - 5 k) i (4 i + 4 j + 2 k)?

Resposta:

Hi ha dos passos: (1) trobar el producte creuat dels vectors, (2) normalitzar el vector resultant. En aquest cas, la resposta és:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Explicació:

El producte creuat de dos vectors produeix un vector que és ortogonal (en angle recte) a tots dos.

El producte creuat de dos vectors # (un #i# + b #j# + c #k#)# i # (p #i# + q #j# + r #k#)# es dóna per # (b * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

El primer pas és trobar el producte transversal:

# (- 5i + 4j 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Aquest vector és ortogonal als dos vectors originals, però no és un vector unitari. Perquè sigui un vector unitari, cal normalitzar-lo: dividim cadascun dels seus components per la longitud del vector.

# l = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 unitats

El vector unitat ortogonal als vectors originals és:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Aquest és un vector unitari ortogonal per als vectors originals, però hi ha un altre: el de la direcció exacta oposada. Simplement canviar el signe de cadascun dels components produeix un segon vector ortogonal als vectors originals.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7) j + (36) / (46,7) k) #

(però és el primer vector que heu d’oferir com a resposta en una prova o assignació!)