Quina és la zona tancada per 2x + 3y <= 6?

Resposta:

#A = 12 #

Explicació:

El valor absolut es dóna per

# | a | = {(a, a> 0), (- a, a <0):}

Com a tal, hi haurà quatre casos a considerar aquí. L'àrea tancada per # 2 | x | +3 | i | <= 6 # serà la zona tancada pels quatre casos diferents. Aquests són, respectivament:

#diamond x> 0 i y> 0 #

# 2 | x | +3 | i | <= 6 #

# 2x + 3y <= 6 => y <= 2-2 / 3x #

La part de l’àrea que busquem serà l’àrea definida pel gràfic

#y = 2-2 / 3x #

i els eixos:

Atès que es tracta d’un triangle recte amb vèrtexs #(0,2)#, #(3,0)# i #(0,0)#, les seves cames tindran llargades #2# i #3# i la seva àrea serà:

# A_1 = (2 * 3) / 2 = 3 #

El segon cas serà

#diamond x <0 i y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# -2x + 3y <= 6 => y <= 2 + 2 / 3x #

De nou, l’àrea necessària serà definida pel gràfic # y = 2 + 2 / 3x # i els eixos:

Aquest té vèrtexs #(0,2)#, #(-3,0)# i #(0,0)#, una vegada més amb cames de longitud #2# i #3#.

# A_2 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Aquí hi ha una clara simetria. Anàlogament, la resolució de les quatre àrees donarà el mateix resultat; tots els triangles tenen zona #3#. Com a tal, l'àrea tancada per

# 2 | x | + 3 | y | <= 6 #

és

# A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 4 * 3 = 12 #

Com es va veure anteriorment, la forma descrita per # 2 | x | +3 | i | <= 6 # és un rombe.