Quina realitat matemàtica, útil i divertida, saps que normalment no s'ensenya a l'escola?

Resposta:

Com avaluar les "torres d'exponents", com ara #2^(2^(2^2))#, i com es calcula l’últim dígit de # 2 ^ n, # # ninNN #.

Explicació:

Per tal d’avaluar aquestes "torres", començem a dalt i baixem.

Tan:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

En una nota similar, però poc relacionada, també sé com elaborar els últims dígits de #2# elevat a qualsevol exponent natural. L’últim dígit de #2# elevat a alguna cosa sempre cicla entre quatre valors: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Així que si voleu trobar l’últim dígit de # 2 ^ n #, localitzeu el lloc en el cicle, i sabreu el seu darrer dígit.

Resposta:

Si #n> 0 # i # a # és una aproximació a #sqrt (n) #, llavors:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))))

on #b = n-a ^ 2 #

Explicació:

Suposem que volem trobar l’arrel quadrada d’un nombre #n> 0 #.

A més, ens agradaria que el resultat sigui una mena de fracció continuada que es repeteix a cada pas.

Prova:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))))

#color (blanc) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))))))

#color (blanc) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Sostreure # a # dels dos extrems per aconseguir:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Multiplica els dos costats de #sqrt (n) + a # aconseguir:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2

Així que si # a ^ 2 # és una mica menys de # n #, llavors # b # serà petita i la fracció continuada convergirà més ràpid.

Per exemple, si ho tenim # n = 28 # i trieu # a = 5 #, llavors tenim:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Tan:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))

que ens proporciona aproximacions:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Una calculadora em diu #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Per tant, això no convergeix particularment ràpidament.

Alternativament, podríem posar # n = 28 # i # a = 127/24 # trobar:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Tan:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

ens dóna aproximacions:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Això convergeix molt més ràpid.

Resposta:

Podeu trobar aproximacions a arrels quadrades usant una seqüència definida recursivament.

Explicació:

#color (blanc) () #

El mètode

Donat un enter positiu # n # que no és un quadrat perfecte:

• Deixar #p = floor (sqrt (n)) # ser el nombre enter positiu més gran del qual el quadrat no excedeixi # n #.

• Deixar #q = n-p ^ 2 #

• Definiu una seqüència de nombres enters mitjançant:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "per" i> = 1):}

Aleshores la relació entre termes successius de la seqüència tendirà cap a # p + sqrt (n) #

#color (blanc) () #

Exemple

Deixar # n = 7 #.

Llavors #p = floor (sqrt (7)) = 2 #, des de #2^2=4 < 7# però #3^2 = 9 > 7#.

Llavors # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Així comença la nostra seqüència:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

En teoria, la relació entre termes consecutius hauria de tendir cap a # 2 + sqrt (7) #

Vegem:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Tingues en compte que # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#color (blanc) () #

Com funciona

Suposem que tenim una seqüència definida per valors donats de # a_1, a_2 # i una regla:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

per a algunes constants # p # i # q #.

Tingueu en compte l’equació:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Les arrels d’aquesta equació són:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Llavors qualsevol seqüència amb terme general # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # satisfarà la regla de recurrència que hem especificat.

Resolució següent:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):}

per # A # i # B #.

Trobem:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

i per tant:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Així, amb aquests valors de # x_1, x_2, A, B # tenim:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Si #q <3p ^ 2 # llavors #abs (x_2) <1 # i la relació entre termes successius tendirà cap a # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Resposta:

Divisió modular

Explicació:

La divisió modular és la mateixa que la divisió, excepte la resposta és la resta en lloc del valor real. Més que la #-:# símbol, utilitzeu el #%# símbol.

Per exemple, normalment, si hagueu de resoldre #16-:5# obtindria #3# resta #1# o bé #3.2#. No obstant això, utilitzant la divisió modular, #16%5=1#.

Resposta:

Avaluació de quadrats amb sumatoris

Explicació:

Normalment, cal saber quadrats com #5^2=25#. No obstant això, quan els nombres augmenten, com ara #25^2#, es fa més difícil saber de la part superior del cap.

Em vaig adonar que, després d’una estona, els quadres són només sumes de nombres imparells.

El que vull dir és això:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # on # k # és el valor base menys #1#

Tan #5^2# es podria escriure com:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Això us donarà:

#1+3+5+7+9#

Això, de fet, ho és #25#.

Atès que els números sempre augmenten per #2#, Llavors podria afegir el primer i el darrer número i després multiplicar per # k / 2 #.

Per tant, per #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Així que només puc fer-ho #(49+1)(25/2)# i aconseguir-ho #25^2# el qual és #625#.

No és realment pràctic, però és interessant saber-ho.

#color (blanc) () #

Bonificació

Sabent que:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n termes" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

ens permet resoldre alguns problemes sobre diferències de quadrats.

Per exemple, quines són totes les solucions en nombres enters positius #m, n # de # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Això es redueix a trobar quines sumes s’inclouen de nombres enters enters imparells #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "average 20" #

#color (blanc) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (blanc) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (blanc) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "average average" #

#color (blanc) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (blanc) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (blanc) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #