Com es troba el límit de sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) quan x s'apropa -oo?

Resposta:

Feu una mica de factoring per aconseguir-ho #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Explicació:

Quan tractem amb límits a l'infinit, sempre és útil calcular un # x #, o un # x ^ 2 #, o el que sigui el poder de # x # simplifica el problema. Per a això, anem a un factor # x ^ 2 # des del numerador i un # x # del denominador:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Aquí és on comença a interessar-se. Per #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # és positiu; tanmateix, per #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # és negatiu. En termes matemàtics:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # per #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # per #x <0 #

Com que estem tractant amb un límit a l'infinit negatiu, #sqrt (x ^ 2) # es converteix # -x #:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Ara podem veure la bellesa d’aquest mètode: tenim un # 9 / x ^ 2 # i # 6 / x #, tots dos aniran a #0# com # x # va a l'infinit negatiu:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #