Quina és l’equació de la línia normal de f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x a x = 7?

Resposta:

# y = 1 / 532x-2009.013 #

Explicació:

La línia normal en un punt és la línia perpendicular a la línia tangent en aquest punt. Quan solucionem problemes d’aquest tipus, trobem el pendent de la línia tangent usant la derivada, utilitzem aquest per trobar el pendent de la línia normal i utilitzem un punt de la funció per trobar l’equació de línia normal.

Pas 1: pendent de la línia tangent

Tot el que fem és prendre la derivada de la funció i avaluar-la # x = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Això significa la inclinació de la línia tangent a # x = 7 # és -532.

Pas 2: pendent de la línia normal

La inclinació de la línia normal és simplement la inversa inversa del pendent de la línia tangent (ja que aquests dos són perpendiculars). Així doncs, només hem de tirar -532 i fer-ho positiu #1/532# com a pendent de la línia normal.

Pas final: trobar l’equació

Les equacions de línies normals són de la forma # y = mx + b #, on? # y # i # x # hi ha punts de la línia, # m és el pendent, i # b # és el # y #-intercepta. Tenim el pendent, # m, que és el que vam trobar al pas dos: #1/532#. Els punts # x # i # y # es pot trobar fàcilment substituint # x = 7 # en l’equació i la resolució de # y #:

# y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Ara podem utilitzar tota aquesta informació per trobar-la # b #, el # y #-intercepte:

# y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Podem aproximar-ho a -2009.013, o si ho volíem, podríem aproximar-ho també -2009.

L'equació de la línia normal és així # y = 1 / 532x-2009.013 #.