Com resoldre l’equació diferencial separable i trobar la solució particular que satisfà la condició inicial y ( 4) = 3?

Resposta:

Solució general: #color (vermell) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Solució particular: #color (blau) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Explicació:

De l’equació diferencial donada #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

pren nota, això #y '(x) = dy / dx # i #y (x) = y #, per tant

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

dividiu els dos costats per #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1

Multiplica els dos costats de # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

transposar # dx # al costat esquerre

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

integrant-se en ambdues parts tenim els següents resultats

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (vermell) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Solució general

Però #y (-4) = 3 # significa quan # x = -4 #, # y = 3 #

Ara ho podem resoldre # C_1 # per resoldre la solució en particular

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Per tant, la nostra solució particular és

#color (blau) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Déu beneeixi … Espero que l’explicació sigui útil.

Resposta:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #, amb #y> = - 13/4 #.

Explicació:

#y> = - 13/4 #, fer #sqrt (4y + 13) # real..

Reorganització, #x '(i) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Tan, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Utilitzant #y = 3, quan x = -4, C = -`13 / 2 #

Tan. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Inversament. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #

Suposeu que treballeu en un laboratori i necessiteu una solució de 15% d’àcid per dur a terme una prova determinada, però el vostre proveïdor només subministra una solució del 10% i una solució del 30%. Necessiteu 10 litres de la solució de 15% d’àcid?

Anem a treballar dient que la solució del 10% és x La solució del 30% serà de 10 x La solució desitjada del 15% conté 0,15 * 10 = 1,5 d’àcid. La solució del 10% proporcionarà 0,10 * x I la solució del 30% proporcionarà 0,30 * (10-x) So: 0,10x + 0,30 (10-x) = 1,5-> 0,10x + 3-0,30x = 1,5-> 3 -0.20x = 1.5-> 1.5 = 0.20x-> x = 7.5 Necessitareu 7,5 L de la solució del 10% i 2,5 L del 30%. Nota: podeu fer-ho d'una altra manera. Entre un 10% i un 30% és una diferència de 20. Cal augmentar del 10% al 15%. Aquesta és una diferència de 5.

Per dur a terme un experiment científic, els estudiants han de barrejar 90 ml d’una solució àcida del 3%. Tenen una solució d’1% i un 10% disponible. Quants ml de la solució al 1% i de la solució del 10% s'han de combinar per produir 90 ml de la solució del 3%?

Podeu fer-ho amb raons. La diferència entre l'1% i el 10% és de 9. Heu de pujar de l'1% al 3% - una diferència de 2. A continuació, haureu de ser present 2/9 de les coses més fortes, o en aquest cas de 20 ml (i de curs 70 ml de les coses més febles).

Què és una solució particular de l’equació diferencial (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) i u (0) = - 5?

U ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 (du) / dt = (2t + seg ^ 2t) / (2u) 2u (du) / dt = 2t + seg ^ 2t int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C aplicant el IV (-5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C implica C = 25 u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25