Pregunta # 059f6

Pregunta # 059f6
Anonim

Resposta:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + suma (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Explicació:

El desenvolupament de Taylor d'una funció # f # a # a # és #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + ….

Tingueu en compte que és una sèrie de potències per la qual cosa no convergeix necessàriament # f # o fins i tot convergir en algun altre lloc # x = un #.

En primer lloc, necessitem els derivats de # f # si volem intentar escriure una fórmula real de la seva sèrie de Taylor.

Després del càlcul i una prova d’inducció, es pot dir que #AAk en NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # i #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Així, després d’una simple simplificació petita, sembla que la sèrie de Taylor de # f # és #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + suma (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.