Si us plau, algú ajuda a resoldre el problema?

Resposta:

Proveu el canvi # x = tan o #

Mirar abaix

Explicació:

Ho sabem # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Pel canvi proposat tenim

# dx = sec ^ 2u du #. Permet substituir la integral

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Per tant, desfer el canvi:

# u = arctanx # i finalment ho tenim

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Resposta:

#color (blau) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Explicació:

Intentem utilitzar la substitució trigonomètrica per resoldre aquesta integral. Per fer-ho, construirem un triangle en angle recte #Delta ABC # i etiqueta els costats de manera que utilitzant la fórmula de Pitàgores podem derivar les expressions que estem veient actualment a l’argument de la integral com segueix:

Angle # / _ B = teta té costat oposat # x # i costat adjacent #1#. Utilitzant la fórmula de Pitàgores:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # resultats en:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # com es mostra.

Ara, anem a escriure les tres funcions trigonomètriques més bàsiques per a # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Ara hem d’utilitzar aquestes equacions per resoldre diverses peces de l’argument integral en termes trigonomètrics. Fem servir # tantheta #:

# tantheta = x #

Prenguem derivats de tots dos costats:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Des del # costheta # l’equació, podem resoldre #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Si aixequem els dos costats d’aquesta equació a la potència de #3# obtenim:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Ara, podem substituir el que hem calculat a la integral del problema per convertir-lo en una integral trigonomètrica:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intancelaire (vermell) (seg ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (vermell) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Ara, podem substituir-lo # sintheta # i torneu la nostra resposta a una expressió algebraica en termes de # x #:

#color (blau) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #