Derivar matemàticament les arrels del color (blanc) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Resposta:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # per #n = 0, 1, 2 #

Explicació:

Donat:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Substitució trigonomètrica

Ja que aquest cúbic té #3# zeros reals, el mètode de Cardano resultarà en expressions que impliquin arrels de cubs irreductibles de nombres complexos. El mètode de Cardano no està equivocat, però no és molt amable, tret que les arrels cubes tinguin una forma simple.

Com a alternativa en aquests casos, escolliria utilitzar una substitució trigonomètrica.

Deixar:

#x = k cos theta #

El truc és triar # k # tal que l’expressió resultant conté # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Tenim:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (blanc) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (blanc) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (blanc) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # amb # k = 2 #

#color (blanc) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Tan:

#cos 3 theta = 1/2 #

Tan:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # per a qualsevol enter # n #

Tan:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # per a qualsevol enter # n #

Això donarà #3# diferents valors possibles de #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # per #n = 0, 1, 2 #.