Sigui 5a + 12b i 12a + 5b les longituds laterals d'un triangle rectangle i 13a + kb siguin la hipotenusa, on a, b i k siguin enters positius. Com es troba el menor valor possible de k i els valors més petits de a i b per a aquest k?

Resposta:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Explicació:

Pel teorema de Pitàgores, tenim:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Això és:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (blanc) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Restar el costat esquerre de tots dos extrems per trobar:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (blanc) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Des de #b> 0 # requerim:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Després, des de #a, b> 0 # requerim # (240-26k) # i # (169-k ^ 2) # tenir signes oposats.

Quan #k in 1, 9 # tots dos # 240-26k # i # 169-k ^ 2 # són positius.

Quan #k in 10, 12 # trobem # 240-26k <0 # i # 169-k ^ 2> 0 # segons sigui necessari.

Així, el valor mínim possible de # k # és #10#.

Llavors:

# -20a + 69b = 0 #

Després, des de #20# i #69# no tenen un factor comú més gran que #1#, els valors mínims de # a # i # b # són #69# i #20# respectivament.