Demostrar que si el polinomi f (x) = ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 3cx + d està dividit exactament per g (x) = ax ^ 2 + 2bx + c, llavors f (x) és un cub perfecte, mentre que g (x) és un quadrat perfecte?

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Donat #f (x) # i #g (x) # com

#f (x) = ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 3cx + d #

#g (x) = ax ^ 2 + 2bx + c #

i tal #g (x) # divideix #f (x) # llavors

#f (x) = (x + e) g (x) #

Ara agrupant els coeficients

# {(d-c e = 0), (c-b e = 0), (b-a e = 0):}

resoldre per a # a, b, c # obtenim la condició

# {(a = d / i ^ 3), (b = d / i ^ 2), (c = d / e):}

i la substitució de #f (x) # i #g (x) #

#f (x) = (d (x + e) ^ 3) / i ^ 3 = (arrel (3) (d) (x + e) / e) ^ 3 #

#g (x) = (d (x + e) ^ 2) / i ^ 3 = (sqrt (d / e) (x + e) / e) ^ 2 #