Mostrar que int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Resposta:

Vegeu l’explicació

Explicació:

Volem mostrar-ho

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Aquesta és una integral bastant "lletja", de manera que el nostre enfocament no serà resoldre aquesta integral, sinó comparar-la amb una integral "millor"

Ara que per a tots els nombres reals positius #color (vermell) (sin (x) <= x) #

Per tant, el valor de la integració també serà més gran, per a tots els nombres reals positius, si substituïm # x = sin (x) #, així que si ho podem mostrar

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Llavors la nostra primera declaració també ha de ser certa

La nova integral és un problema de substitució simple

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

L’últim pas és notar-ho #sin (x) = x => x = 0

Per tant, podem concloure

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #