Com es resolen 3sin2x + 2cos2x = 3? Es pot convertir a sinx = k?

Resposta:

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o bé #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

o si preferiu una aproximació, # x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o bé #x aproximadament 11.31 ^ circ + 180 ^ circ k #

per descomptat per a sencer # k #.

Explicació:

Consell Pro: és millor convertir-los en el formulari #cos x = cos a # que té solucions #x = pm a + 360 ^ circ. quad quàdruple per a sencer # k #.

Aquest ja és a punt # 2x # així que és més fàcil deixar-ho així.

Les combinacions lineals de sinus i cosinus del mateix angle són cosinus de fase desplaçada.

# 3 sin (2x) + 2 cos (2x) = 3 #

# sqrt {13} (2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x)) = 3 #

# 2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x) = 3 / sqrt {13} #

Anem # theta = arctan (3/2) aproximadament 56,31 ^ circ #

Realment volem dir el que es troba al primer quadrant.

(Si volguéssim fer sinus en lloc de cosinus com ho estem fent, usaríem #arctan (2/3) #.)

Tenim #cos theta = 2 / sqrt {13} # i #sin theta = 3 / sqrt {13}. #

# cos theta cos (2x) + sin theta sin (2x) = sin theta #

# cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ - theta) #

# 2x - theta = pm (90 ^ circ - theta) + 360 ^ circ k #

# 2x = theta pm (90 ^ circ - theta) + 360 ^ circ k #

# x = theta / 2 pm (45 ^ circ - theta / 2) + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o bé #x = theta - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o bé #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

Des de #56.31-45 = 11.31#

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o bé #x aproximadament 11.31 ^ circ + 180 ^ circ k #