Com puc simplificar (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Resposta:

# cos ^ 5x #

Explicació:

Aquest tipus de problema no és realment tan dolent quan es reconeix que implica una mica d’algebra!

Primer, reescriuré l’expressió donada per facilitar la comprensió dels passos següents. Ho sabem # sin ^ 2x # és només una manera més senzilla d’escriure # (sin x) ^ 2 #. De la mateixa manera, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Ara podem reescriure l’expressió original.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Ara, aquí teniu la part que inclou l’àlgebra. Deixar #sin x = a #. Podem escriure # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # com

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Això sembla familiar? Només cal que ho avaluem! Es tracta d’un perfecte trinomi quadrat. Des de # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, podem dir

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Ara torneu a la situació original. Reemplaçar #sin x # per # a #.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (color (blau) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Ara podem utilitzar una identitat trigonomètrica per simplificar els termes en blau. Reordenar la identitat # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, obtenim #color (blau) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (color (blau) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Una vegada que es fa un quadrat, els signes negatius es multipliquen per ser positius.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Així, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x.